صفحهٔ ۱ از ۴
💡 یک فرمول مثل یک دستور پخت است
یک فرمول را مثل یک دستور پخت تصور کن. حرف، مادهٔ اولیه است (عددی که می‌گذاری)، و عملیات (×، +، −، ÷) مراحل پخت هستند.
برای استفاده از هر فرمول: ① آن را بخوان → ② عدد را جای‌گذاری کن → ③ گام‌به‌گام حساب کن.
📖 دستور فرمول شماره ۱: n × n (n به‌توان ۲)
- عدد n را بردار
- آن را در خودش ضرب کن
- این جواب توست!
به‌توان رساندن یک عدد
n × n = n²
مثال حل‌شده
n² را وقتی n = ۴ پیدا کن:
گام ۱: فرمول را بنویس → n × n
گام ۲: n را با ۴ جای‌گذاری کن → ۴ × ۴
گام ۳: حساب کن → ۱۶ ✓
۱ تمرین n² 🔲
مراحل را دنبال کن تا n² را برای هر مقدار پیدا کنی.
n = ۳ → ۳ × ۳ =
n = ۵ → × =
n = ۷ → × =
n = ۱۰ → × =
۲ بررسی سریع: درست یا غلط؟ ✅
درست یا غلط را برای هر جمله دور بزن.
۵² = ۲۵
درست / غلط
۸² = ۱۶
درست / غلط
۱۰² = ۱۰۰
درست / غلط
n × n فقط وقتی n زوج است کار می‌کند
درست / غلط
صفحهٔ ۲ از ۴
📖 دستور فرمول شماره ۲: n × (n + ۱) ÷ ۲
- عدد n را بردار
- ۱ به آن اضافه کن → این می‌شود n + ۱
- n را در n + ۱ ضرب کن
- نتیجه را بر ۲ تقسیم کن
جمع همهٔ اعداد از ۱ تا n
۱ + ۲ + ۳ + ⋯ + n = n × (n + ۱) ÷ ۲
مثال حل‌شده
۱ + ۲ + ۳ + ۴ + ۵ را با فرمول پیدا کن (n = ۵):
گام ۱: n + ۱ = ۵ + ۱ = ۶
گام ۲: n × (n + ۱) = ۵ × ۶ = ۳۰
گام ۳: بر ۲ تقسیم کن → ۳۰ ÷ ۲ = ۱۵ ✓
بررسی: ۱+۲+۳+۴+۵ = ۱۵ ✓ درست است!
۳ تمرین n × (n + ۱) ÷ ۲ 📐
مراحل دستور را برای هر مقدار n دنبال کن.
n = ۴
گام ۱: n + ۱ = ۴ + ۱ =
گام ۲: n × (n+۱) = ۴ × =
گام ۳: ÷ ۲ =
n = ۶
گام ۱: n + ۱ =
گام ۲: n × (n+۱) = × =
گام ۳: ÷ ۲ =
n = ۸
گام ۱: n + ۱ =
گام ۲: n × (n+۱) =
گام ۳: ÷ ۲ =
n = ۱۰
گام ۱: n + ۱ =
گام ۲: n × (n+۱) =
گام ۳: ÷ ۲ =
صفحهٔ ۳ از ۴
🎨 ارتباط با اثبات‌های تصویری
یادت هست فرمول اعداد فرد: عدد فرد nام برابر است با ۲n − ۱.
یک حقیقت شگفت‌انگیز وجود دارد: اگر n عدد فرد اول را با هم جمع کنی، همیشه n² می‌شود!
بیا گام‌به‌گام بررسی کنیم:
۴ جمع اعداد فرد → مربع‌های کامل ✨
هر ردیف را پر کن. الگوی ستون آخر را ببین!
| چند تا؟ | کدام اعداد فرد؟ | مجموع | آیا n² است؟ |
|---|
| n = ۱ |
۱ |
۱ |
۱² = ۱ ✓ |
| n = ۲ |
۱ + ۳ |
|
۲² = |
| n = ۳ |
۱ + ۳ + ۵ |
|
۳² = |
| n = ۴ |
۱ + ۳ + ۵ + ۷ |
|
۴² = |
| n = ۵ |
۱ + ۳ + ۵ + ۷ + ۹ |
|
۵² = |
| n = ۶ |
۱ + ۳ + ۵ + ۷ + ۹ + ۱۱ |
|
۶² = |
| n = ۷ |
۱ + ۳ + ۵ + ۷ + ۹ + ۱۱ + ۱۳ |
|
۷² = |
| n = ۸ |
۱ + ۳ + ۵ + ۷ + ۹ + ۱۱ + ۱۳ + ۱۵ |
|
۸² = |
۵ بدون جمع کردن پیش‌بینی کن 🔮
از الگویی که پیدا کردی (مجموع n عدد فرد اول = n²) برای رسیدن مستقیم به جواب استفاده کن.
مجموع ۱۰ عدد فرد اول
= ۱۰² =
مجموع ۱۲ عدد فرد اول
= ² =
مجموع ۷ عدد فرد اول
=
مجموع ۲۰ عدد فرد اول
=
صفحهٔ ۴ از ۴
۶ از میان‌بر استفاده کن! ⚡
حالا که الگو را می‌دانی، از n² برای پیدا کردن فوری این مجموع‌ها استفاده کن!
۱ + ۳ + ۵ + … + ۱۷
این ۹ عدد فرد اول است
(چون ۲×۹−۱ = ۱۷)
n = ۹ → ۹² =
۱ + ۳ + ۵ + … + ۳۹
۲ × n − ۱ = ۳۹ → n =
² =
۱ + ۲ + ۳ + … + ۲۰
از n × (n+۱) ÷ ۲ استفاده کن
۲۰ × ۲۱ ÷ ۲ =
۱ + ۲ + ۳ + … + ۵۰
از n × (n+۱) ÷ ۲ استفاده کن
۵۰ × ÷ ۲ =
۷ فرمول درست را انتخاب کن 🧠
تصمیم بگیر از کدام فرمول استفاده کنی، سپس حل کن!
۱ + ۲ + ۳ + … + ۱۲ چقدر است؟
فرمول:
جواب:
۱ + ۳ + ۵ + … + ۲۳ چقدر است؟
چند عدد فرد؟
جواب:
۸² چقدر است؟
فرمول: n × n
جواب:
عدد فرد پانزدهم چیست؟
فرمول: ۲ × n − ۱
جواب:
۸ چالش دنیای واقعی 🌍
از یک فرمول این درس برای حل هر مسئلهٔ واقعی استفاده کن.
یک ورزشگاه ۱۲ ردیف دارد. ردیف ۱ یک صندلی، ردیف ۲ دو صندلی دارد و … تا ردیف ۱۲.
مجموع صندلی‌ها =
یک کف کاشی مربعی ۹ کاشی در ۹ کاشی دارد.
مجموع کاشی‌ها = ۹² =
یک پشتهٔ قوطی ۱ قوطی بالا، ۳ در ردیف دوم، ۵ در ردیف سوم، … تا ردیف ششم دارد.
مجموع قوطی‌ها =
کدام بزرگ‌تر است — ۶² یا ۱ + ۲ + … + ۱۱؟
دور بزن: ۶² / مجموع
کلید پاسخ‌ها:
۱) ۹، ۲۵، ۴۹، ۱۰۰ —
۲) درست، غلط (۸²=۶۴)، درست، غلط —
۳) ۵→۲۰→۱۰، ۷→۴۲→۲۱، ۹→۷۲→۳۶، ۱۱→۱۱۰→۵۵ —
۴) ۴، ۴؛ ۹، ۹؛ ۱۶، ۱۶؛ ۲۵، ۲۵؛ ۳۶، ۳۶؛ ۴۹، ۴۹؛ ۶۴، ۶۴ —
۵) ۱۰۰، ۱۴۴، ۴۹، ۴۰۰ —
۶) ۸۱؛ n=۲۰→۴۰۰؛ ۲۱۰؛ ۱۲۷۵ —
۷) ۷۸؛ ۱۲ عدد فرد→۱۴۴؛ ۶۴؛ ۲۹ —
۸) ۷۸، ۸۱، ۳۶، مجموع (۶۶ > ۳۶)