صفحهٔ ۱ از ۲
💡 دیدن یعنی باور کردن (و اثبات کردن!)
گاهی بهترین راه برای اثبات چیزی این است که یک تصویر بکشیم. یک تصویر خوب می‌تواند نشان دهد که یک فرمول چرا درست است — نه فقط اینکه درست است. به این‌ها اثبات‌های تصویری یا اثبات بدون کلمه می‌گوییم.
اثبات تصویری ۱: اعداد فرد، مربع‌های کامل می‌سازند
۱ + ۳ + ۵ + ۷ + … = یک عدد مربعی!
هر عدد فرد (شکل L نارنجی) دور مربع قبلی می‌پیچد و مربع بزرگ‌تری می‌سازد!
عدد فرد nام برابر است با ۲n−۱، و دقیقاً به اندازهٔ کافی اضافه می‌شود تا از (n−۱)² به n² برسیم.
۱ + ۳ + ۵ + ۷ + ⋯ + (۲n−۱) = n²
۱ الگو را ادامه بده 🔲
از الگوی شکل L استفاده کن تا بدون محاسبهٔ هر جمع، جواب را بیابی!
۱ + ۳ + ۵ + ۷ + ۹ =
این ۵ عدد فرد است ← ²
۱ + ۳ + ۵ + ۷ + ۹ + ۱۱ =
این ۶ عدد فرد است ← ²
۱ + ۳ + ۵ + … + ۱۹ =
این عدد فرد است ← ²
۱ + ۳ + ۵ + … + ۹۹ =
این عدد فرد است ← ²
صفحهٔ ۲ از ۲
اثبات تصویری ۲: پله‌کان
۱ + ۲ + ۳ + ۴ = ? دو پله‌کان را یک مستطیل کن!
پله‌کان دارای ۱+۲+۳+۴ = ۱۰ مربع (بنفش) است.
یک نسخه را برگردان (نارنجی) و کنار هم قرار بده ← مستطیل ۴×۵ = ۲۰.
پله‌کان نصف مستطیل است: ۲۰ ÷ ۲ = ۱۰ ✓
۱ + ۲ + ۳ + ⋯ + n = n × (n + ۱) ÷ ۲
۲ از فرمول پله‌کان استفاده کن 📐
از فرمول n × (n+۱) ÷ ۲ برای یافتن سریع هر مجموع استفاده کن!
۱ + ۲ + ۳ + ۴ + ۵
n = ۵ ← ۵ × ۶ ÷ ۲ =
۱ + ۲ + ۳ + … + ۱۰
n = ۱۰ ← ۱۰ × ÷ ۲ =
۱ + ۲ + ۳ + … + ۲۰
n = ۲۰ ← × ÷ ۲ =
۱ + ۲ + ۳ + … + ۱۰۰
n = ۱۰۰ ← × ÷ ۲ =
۳ اثبات تصویری خودت را بکش ✏️
پله‌کان را برای ۱+۲+۳+۴+۵ بکش و نشان بده که دو نسخه یک مستطیل ۵×۶ می‌سازند.
کلید پاسخ‌ها:
۱) ۲۵ (۵²)، ۳۶ (۶²)، ۱۰۰ (۱۰ عدد فرد ← ۱۰²)، ۲۵۰۰ (۵۰ عدد فرد ← ۵۰²) —
۲) ۱۵، ۵۵، ۲۱۰، ۵۰۵۰